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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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7. [Sustitución trigonométrica] Asumiendo la validez de

I) $\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan (x)+C$

II) $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen}(x)+C$

III) $\int \frac{1}{1-x^{2}} d x=\operatorname{arctanh}(x)+C$

IV) $\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=\operatorname{arcsenh}(x)+C$

utilice el método de sustitución para calcular las siguientes integrales:
c) $\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}}$

Respuesta

Para resolver esta integral nuevamente vamos a usar razonamientos muy parecidos a los items anteriores. Tenemos la integral:

$\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}}$

y vamos a tratar de reescribirla para que nos aparezca una integral que sepamos resolver, por ejemplo esta que tiene una pinta similar:

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx=\operatorname{arcsen}(x)+C$

Ahora, cómo vamos a reescribir la expresión no va a ser tan obvio como en las anteriores. Probablemente después que lo veas te vas a quedar con la idea de "a mi esto nunca se me hubiera ocurrido"... y te voy a responder como siempre, y no, a mi tampoco! jajaja pero justamente estamos para eso, para que vayas viendo muchos ejemplos, vayas encontrando nuevas maneras de pensar, y, en algún momento, cuando veas integrales parecidas a estas, te vas a acordar de estos ejercicios ;)

Fijate que adentro de la raiz tenemos esta expresión: $4 x-x^{2}$. Lo primero que vamos a hacer es reescribir esta cuadrática así: $4 - (x-2)^2$ (esta manera de escribir una cuadrática lo vimos en la Práctica 1, es la forma canónica, también se puede llegar a esta expresión "completando cuadrados", que acá en Análisis no lo vimos, pero quizas te suene de algún lugar) -> Para mi este paso es lo que les puede resultar más difícil en este ejercicio. 

Entonces, reescribiendo así el denominador nos queda:

$\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}} = \int \frac{d x}{\sqrt{4 - (x-2)^2}}$

Ahora sacamos factor común el $4$:

$ \int \frac{d x}{\sqrt{4 - (x-2)^2}} =  \int \frac{d x}{\sqrt{4 (1 - \frac{(x-2)^2}{4}})} = \int \frac{d x}{\sqrt{4 (1 - (\frac{x-2}{2})^2})}$

Distribuimos la raíz y nos queda:

$\int \frac{d x}{\sqrt{4 (1 - (\frac{x-2}{2})^2})} = \int \frac{1}{2}  \frac{d x}{\sqrt{1 - (\frac{x-2}{2})^2}}$

Uffff, al fin! Ahí se ve claro que si tomamos la sustitución $u = \frac{x-2}{2}$ nos va a aparecer una integral que sabemos resolver. Hacemos la sustitución:

$u = \frac{x-2}{2}$

$du = \frac{1}{2} dx$

La integral en términos de $u$ nos queda:

$\int \frac{1}{2}  \frac{d x}{\sqrt{1 - (\frac{x-2}{2})^2}} = \int \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \arcsin(u) + C$

Volvemos a la variable $x$ y obtenemos el resultado de la integral:

$\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}} = \arcsin(\frac{x-2}{2}) + C $
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Harun
13 de junio 22:08
Profe flor no entendí porque lo escribiste así cuando 4-(x-2)² osea que hiciste para llegar a eso 
0 Responder
Flor
PROFE
14 de junio 7:55
@Harun Hola Harun! Tranqui, como les aclaré ahi esa es la parte más volada y difícil del ejercicio para mi. Sale de esto: Vos cualquier función cuadrática de la forma $ax^2 + bx + c$ también la podés escribir en forma canónica así: 

$a (x-x_v)^2 + y_v$

($x_v$ es el $x$ del vértice y $y_v$ es el $y$ del vértice)

Entonces para nuestra cuadrática: $4 x-x^{2}$, podés ver que $a=-1$ y el vértice está en $(2,4)$

Reemplazando en la fórmula canónica nos queda:

$a (x-x_v)^2 + y_v = -1 \cdot (x - 2)^2 + 4$

que yo ahí lo escribí al revés, pero es lo mismo: $4 - (x - 2)^2$
0 Responder
Harun
15 de junio 16:35
Ah entiendo 
0 Responder
Valentino
12 de junio 13:41
Hola flor, una pregunta, cuando distribuis la raiz, quedaria raiz de 4 y raiz de 1-((x-2)/2)^2, despues querdaria 4^1/2= 2, porq aparece el 1/2 y no el 2?
0 Responder
Flor
PROFE
12 de junio 18:20
@Valentino O sea, vos esto lo podrías escribir así también, creo que fue eso lo que te confundió:

$\int \frac{1}{2}  \frac{d x}{\sqrt{1 - (\frac{x-2}{2})^2}} = \frac{d x}{2 \cdot \sqrt{1 - (\frac{x-2}{2})^2}}$

Se ve que las dos cosas son lo mismo? 
0 Responder
Valentino
15 de junio 10:17
sii, gracias
0 Responder