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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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7. [Sustitución trigonométrica] Asumiendo la validez de

I) ∫11+x2dx=arctan⁡(x)+C\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan (x)+C

II) ∫11−x2dx=arcsen⁡(x)+C\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen}(x)+C

III) ∫11−x2dx=arctanh⁡(x)+C\int \frac{1}{1-x^{2}} d x=\operatorname{arctanh}(x)+C

IV) ∫11+x2dx=arcsenh⁡(x)+C\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=\operatorname{arcsenh}(x)+C

utilice el método de sustitución para calcular las siguientes integrales:
c) ∫dx4x−x2\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}}

Respuesta

Para resolver esta integral nuevamente vamos a usar razonamientos muy parecidos a los items anteriores. Tenemos la integral:

∫dx4x−x2\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}}

y vamos a tratar de reescribirla para que nos aparezca una integral que sepamos resolver, por ejemplo esta que tiene una pinta similar:

∫11−x2dx=arcsen⁡(x)+C\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx=\operatorname{arcsen}(x)+C

Ahora, cómo vamos a reescribir la expresión no va a ser tan obvio como en las anteriores. Probablemente después que lo veas te vas a quedar con la idea de "a mi esto nunca se me hubiera ocurrido"... y te voy a responder como siempre, y no, a mi tampoco! jajaja pero justamente estamos para eso, para que vayas viendo muchos ejemplos, vayas encontrando nuevas maneras de pensar, y, en algún momento, cuando veas integrales parecidas a estas, te vas a acordar de estos ejercicios ;)

Fijate que adentro de la raiz tenemos esta expresión: 4x−x24 x-x^{2}. Lo primero que vamos a hacer es reescribir esta cuadrática así: 4−(x−2)24 - (x-2)^2 (esta manera de escribir una cuadrática lo vimos en la Práctica 1, es la forma canónica, también se puede llegar a esta expresión "completando cuadrados", que acá en Análisis no lo vimos, pero quizas te suene de algún lugar) -> Para mi este paso es lo que les puede resultar más difícil en este ejercicio. 

Entonces, reescribiendo así el denominador nos queda:

∫dx4x−x2= ∫dx4−(x−2)2\int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}} = \int \frac{d x}{\sqrt{4 - (x-2)^2}}

Ahora sacamos factor común el 44:

 ∫dx4−(x−2)2=  ∫dx4(1−(x−2)24)= ∫dx4(1−(x−22)2) \int \frac{d x}{\sqrt{4 - (x-2)^2}} =  \int \frac{d x}{\sqrt{4 (1 - \frac{(x-2)^2}{4}})} = \int \frac{d x}{\sqrt{4 (1 - (\frac{x-2}{2})^2})}

Distribuimos la raíz y nos queda:

∫dx4(1−(x−22)2)=∫ 12  dx1−(x−22)2\int \frac{d x}{\sqrt{4 (1 - (\frac{x-2}{2})^2})} = \int \frac{1}{2}  \frac{d x}{\sqrt{1 - (\frac{x-2}{2})^2}}

Uffff, al fin! Ahí se ve claro que si tomamos la sustitución u= x−22u = \frac{x-2}{2} nos va a aparecer una integral que sabemos resolver. Hacemos la sustitución:

u= x−22u = \frac{x-2}{2}

du=12dxdu = \frac{1}{2} dx

La integral en términos de uu nos queda:

∫ 12  dx1−(x−22)2= ∫du1−u2=arcsin⁡(u)+C\int \frac{1}{2}  \frac{d x}{\sqrt{1 - (\frac{x-2}{2})^2}} = \int \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \arcsin(u) + C

Volvemos a la variable xx y obtenemos el resultado de la integral:

∫dx4x−x2= arcsin⁡(x−22)+C \int \frac{d x}{\sqrt{4 x-x^{2}}} = \arcsin(\frac{x-2}{2}) + C 
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Harun
13 de junio 22:08
Profe flor no entendí porque lo escribiste así cuando 4-(x-2)² osea que hiciste para llegar a eso 
0 Responder
Flor
PROFE
14 de junio 7:55
@Harun Hola Harun! Tranqui, como les aclaré ahi esa es la parte más volada y difícil del ejercicio para mi. Sale de esto: Vos cualquier función cuadrática de la forma ax2+bx+cax^2 + bx + c también la podés escribir en forma canónica así: 

a(x−xv)2+yva (x-x_v)^2 + y_v

(xvx_v es el xx del vértice y yvy_v es el yy del vértice)

Entonces para nuestra cuadrática: 4x−x24 x-x^{2}, podés ver que a=−1a=-1 y el vértice está en (2,4)(2,4)

Reemplazando en la fórmula canónica nos queda:

a(x−xv)2+yv=−1⋅(x−2)2+4a (x-x_v)^2 + y_v = -1 \cdot (x - 2)^2 + 4

que yo ahí lo escribí al revés, pero es lo mismo: 4− (x−2)24 - (x - 2)^2
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Harun
15 de junio 16:35
Ah entiendo 
0 Responder
Valentino
12 de junio 13:41
Hola flor, una pregunta, cuando distribuis la raiz, quedaria raiz de 4 y raiz de 1-((x-2)/2)^2, despues querdaria 4^1/2= 2, porq aparece el 1/2 y no el 2?
0 Responder
Flor
PROFE
12 de junio 18:20
@Valentino O sea, vos esto lo podrías escribir así también, creo que fue eso lo que te confundió:

∫ 12  dx1−(x−22)2= dx2⋅1−(x−22)2\int \frac{1}{2}  \frac{d x}{\sqrt{1 - (\frac{x-2}{2})^2}} = \frac{d x}{2 \cdot \sqrt{1 - (\frac{x-2}{2})^2}}

Se ve que las dos cosas son lo mismo? 
0 Responder
Valentino
15 de junio 10:17
sii, gracias
0 Responder